Hamilton-Jacobi Equations and Scalar Conservation Laws

Työssä esitellään moniulotteisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden alkuarvo-ongelmia. Erityisesti keskitytään Hamilton-Jacobi -yhtälöihin, sekä yhden tilamuuttujan säilyvyyslakeihin. Näitä yhtälöitä kohdataan usein mallinnettaessa fysikaalisten systeemien käyttäytymistä matemaattisesti, eikä yhtälöille ole välttämättä ratkaisua perinteisessä mielessä. Työn tavoitteena onkin esitellä ensin karakteristisena menetelmänä tunnettu ratkaisukeino, jossa osittaisdifferentiaaliyhtälö muunnetaan systeemiksi tavallisia differentiaaliyhtälöitä. Näiden tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen avulla voidaan määrittää alkuperäisen ongelman ratkaisu, ainakin tutkittavan alueen reunan läheisyydessä. Seuraavaksi nostetaan esille karakteristisen menetelmän puutteita. Kuten säilyvyyslakeihin liittyvistä esimerkeistä havaitaan, menetelmä ei pysty tarjoamaan joillekin alkuarvotehtäville jatkuvaa, eikä siten differentioituvaa ratkaisua. Joissakin tapauksissa menetelmän antama tieto ratkaisusta ei puolestaan riitä kattamaan koko ratkaisun haluttua määrittelyjoukkoa. On kuitenkin mahdollista määrittää alkuarvo-ongelman integraaliratkaisu, rajoitettu funktio, jolla on sileällä kompaktikantajaisella testifunktiolla kerrottaessa tutkittavan osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisua muistuttavia ominaisuuksia. Annettuun ongelmaan ei kuitenkaan välttämättä ole aina yksikäsitteistä integraaliratkaisua, eikä osa integraaliratkaisun määritelmän toteuttavista funktioista tarjoa fysiikan ongelmista johdettuihin yhtälöihin mielekästä ratkaisua. Nopeasti havaitaan, että osa näistä epätoivotuista ratkaisuista saadaan karsittua vaatimalla integraaliratkaisulta tiettyjen entropiaehtojen täyttämistä. Haluamme kuitenkin tarjota riittävät ehdot yksikäsitteisen, entropiaehdot toteuttavan ratkaisun löytämiseksi. Tämän tavoitteen saavuttamiseksi työssä esitellään variaatiolaskennan perusteita ja Hopf-Lax -kaavan johtaminen Hamilton-Jacobi -yhtälöistä. Hopf-Lax -kaavan antamien integraaliratkaisujen avulla Hamilton-Jacobi -yhtälöille voidaan määritellä niin kutsuttu heikko ratkaisu. Lopuksi Hamilton-Jacobi -yhtälöiden heikkojen ratkaisujen määrittämiseksi esiteltyä teoriaa voidaan käyttää antamaan säilyvyyslakien alkuarvotehtäville entropiaehto, joka takaa ratkaisujen yksikäsitteisyyden nollamittaista joukkoa lukuunottamatta koko halutussa määrittelyjoukossa. Hamilton-Jacobi -yhtälöiden ja Hopf-Lax -kaavan avulla voidaan johtaa Lax-Oleinik -kaava, joka antaa sopivissa tapauksissa alkuarvo-ongelman entropiaratkaisun

Graphical Test for Discrete Uniformity and its Applications in Goodness of Fit Evaluation and Multiple Sample Comparison

Assessing goodness of fit to a given distribution plays an important role in computational statistics. The Probability integral transformation (PIT) can be used to convert the question of whether a given sample originates from a reference distribution into a problem of testing for uniformity. We present new simulation and optimization based methods to obtain simultaneous confidence bands for the whole empirical cumulative distribution function (ECDF) of the PIT values under the assumption of uniformity. Simultaneous confidence bands correspond to such confidence intervals at each point that jointly satisfy a desired coverage. These methods can also be applied in cases where the reference distribution is represented only by a finite sample. The confidence bands provide an intuitive ECDF-based graphical test for uniformity, which also provides useful information on the quality of the discrepancy. We further extend the simulation and optimization methods to determine simultaneous confidence bands for testing whether multiple samples come from the same underlying distribution. This multiple sample comparison test is especially useful in Markov chain Monte Carlo convergence diagnostics. We provide numerical experiments to assess the properties of the tests using both simulated and real world data and give recommendations on their practical application in computational statistics workflows